传说,在公元前287年,叙拉古王国的国王打了胜仗,为了庆祝胜利,他决定献给神一顶金子做的王冠。他找来一位珠宝商,给了他一些金子让他制造一顶王冠。王冠制作得很漂亮,重量也跟原来国王给的黄金一样重。但是国王还是怀疑珠宝商盗窃了一部分黄金,而在王冠中掺进了同等重量的白银。他请阿基米德鉴定王冠是不是纯金的,但不许拆散王冠。阿基米德冥思苦想多天,都不得要领。一天,他跨入盛满水的浴缸洗澡,看到水向外溢,顿时豁然开朗,兴奋地喊:“我找到检验王冠的方法了”。

阿基米德由此发现了浮力定理,从而解决了王冠的检验问题。

在我国古代,也流传一个利用浮力原理的“曹冲称象”的故事。曹操的儿子曹冲小时候非常聪明。一天,有人送给曹操一只大象,曹操很高兴,想知道这个庞然大物究竟有多重。但是到哪里去找这样大的秤呢?魏国的谋臣武士们绞尽脑汁,也想不出一个办法。小小的曹冲却想出了一个妙法:他教人把大象牵到一只大木船上,刻下木船的吃水深度;然后把大象牵下船而向船上装进一些石块,让木船吃水深度与原来的刻度一致时即停止继续装石块。根据浮力原理,大象的重量和船上石块的重量相等,而分散的石块是可以用普通的秤称出其重量的。“曹冲称象”成为千古美谈。

“曹冲称象”的思想不仅仅是利用了物理学中的浮力原理,也利用了数学中一个极为普遍的思想:转化思想。即把有待解决的问题,通过适当的方法,转化为已经解决或已经知道其解决方法的问题。

从某种意义上讲,数学证明或数学计算中的每一步都是一种转化,转化思想是数学中最基本、最重要的一种思想。可以毫不夸张地说。转化能力的高低是衡量一个人数学水平的重要标志之一。

匈牙利数学家罗莎曾经对此作过一个有趣的比喻:

假如在你面前有煤气灶、水壶、水笼头和火柴,现在要烧一壶开水,你应该怎样做?

回答很简单,谁都知道应该怎样做。在水壶中加满水;点燃煤气;把水壶放到煤气灶上。

接着罗莎再提出问题:现在所有的条件都和原来一样,只是水壶中已灌满了水,这时你又应该怎样做?对于这一问题人们通常的回答往往是:那就只要点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上就可以了。但罗莎指出,这不是最好的回答,因为只有物理学家才会这样做,而数学家则会倒去壶中的水,因为他已经把后一问题转化为前一个问题了,而前一问题是已经解决了的。

罗莎的比喻也许过于夸张,但它的确表明了数学思想方法的一个特点,善于使用转化的方法。

在18世纪,东普鲁士哥尼斯堡(今属立陶宛共和国)内有一条大河,河中有两个小岛。全城被大河分割成四块陆地。河上架有七座桥,把四块陆地像图1那样联系起来。当时许多市民都在思索如下的问题:一个散步者能否从某一陆地出发,不重复地经过每座桥一次,最后回到原来的出发地。

这就是历史上有名的哥尼斯堡七桥问题。

这个问题似乎不难解决,所以吸引了许多人都想来试试看,但是日复一日谁也没有得出确定的答案。于是有人便写信给当时着名的数学家欧拉(Euler,1707 ～1783)求教。欧拉毕竟是数学家,他并没有去重复人们已多次失败了的试验,而是首先产生了一种直觉的猜想:许多人千百次的失败,也许意味着这样的走法根本就不存在。于是欧拉把七桥问题进行了数学的抽象。用A、B、C、D四个点表示四块陆地,用两点间的一条线表示联接两块陆地之间的一座桥,就得到如图2那样一个由四个点和七条线组成的图形。

于是,七桥问题就转化为一个象图2那样的图形是否可以“一笔画”的问题。什么叫“一笔画”呢?那就是笔不准离开纸,一气画成整个图形,但每一条线只许画一次,不得重复。像图2这样的图形能不能一笔画呢?1736年欧拉证明了:答案是否定的。

为什么呢?

因为除了起点和终点之外,我们把其余的点称为中间点。如果一个图可以一笔画的话,对于每一个中间点来说,当画笔沿某条线到达这一点时,必定要沿另一条线离开这点,并且进入这点几次,就要离开这点几次,一进一出,两两配对,所以从这点发出的线必然要是偶数条。因此,一个图形能否一笔画就有了一个判别准则:

一个可以一笔画的图形最多只能有两个点(起点和终点)与奇数条线相连。

再看图2中的四个点都是与奇数条(三条或五条)线相连的,根据这一判别准则,是不能一笔画的。

从而证明了七桥问题所要求的走法是不存在的。

曾经难倒许多人的七桥问题,经过欧拉这一转化,就像哥伦布竖鸡蛋一样,简单而圆满地解决了。

湖南教育出版社 欧阳维诚